Перейти к содержанию

Декамино

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Декамино (или 10-мино) — десятиклеточные полимино, или многоугольники, составленные из 10 единичных квадратов, соединённых сторонами[1][2].

Если не различать фигуры, получаемые друг из друга поворотами и отражениями, то существует 4655 декамино[1][2][3][4]. Если условиться различать зеркальные отражения, то число различных декамино возрастает до 9189[3][5], а если различать и вращения — то до 36 446[3][6][7].

Подмножества

195 из 4655 двусторонних (свободных) декамино содержат в себе отверстия[3][8]. 13 из 195 «дырявых» декамино содержат отверстия в форме домино[9] (все они могут быть получены добавлением единичного квадрата к единственному нонамино с отверстием в форме домино); оставшиеся 182 дырявых декамино содержат отверстия в форме мономино[9].

Симметрии

Единственное декамино с двумя диагональными осями зеркальной симметрии

4655 двусторонних декамино можно разбить на несколько подмножеств по их группам симметрии[7]:

  • 4461 декамино асимметричны — их группа симметрии тривиальна[10];
  • 90 декамино имеют одну ось симметрии, параллельную рёбрам квадратного паркета, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и отражения[11];
  • 22 декамино имеют одну диагональную ось симметрии, и их группа симметрии также состоит из двух элементов[12];
  • 73 декамино имеют центральную симметрию второго порядка, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и поворота на 180°[13];
  • 8 декамино имеют две взаимно перпендикулярные оси симметрии, параллельные сторонам полимино; их группа симметрий состоит из четырёх элементов — тождественного преобразования, двух отражений и поворота на 180°[14];
  • 1 декамино имеет две взаимно перпендикулярные диагональные оси симметрии, и его группа симметрий состоит из четырёх элементов[15].

В отличие от октамино и нонамино, среди декамино не встречается поворотная симметрия четвёртого порядка.

Число двусторонних или свободных декамино (фигур, которые можно поворачивать и переворачивать), таким образом, равно

[math]\displaystyle{ 4461 + 90 + 22 + 73 + 8 + 1 = 4655, }[/math]

число односторонних декамино (фигур, которые можно поворачивать, но нельзя переворачивать) равно

[math]\displaystyle{ 4461\cdot 2 + 90\cdot 1 + 22\cdot 1 + 73\cdot 2 + 8\cdot 1 + 1\cdot 1 = 9189, }[/math]

а число фиксированных декамино (фигур, которые нельзя ни поворачивать, ни переворачивать) —

[math]\displaystyle{ 4461\cdot 8 + 90\cdot 4 + 22\cdot 4 + 73\cdot 4 + 8\cdot 2 + 1\cdot 2 = 36\ 446. }[/math]

Замощение плоскости

3070 двусторонних декамино (все, кроме 1585, в число которых входят и 195 «дырявых» декамино) покрывают плоскость[16][17][18].

Составление конструкций из декамино

Набор из четырёх декамино, обладающий способностью к правильной самовоспроизводимости первого порядка[1]

Поскольку 195 декамино содержат «отверстия», из всех 4655 фигур нельзя сложить ни одного прямоугольника.

4460 односвязных[19] декамино занимают общую площадь в 44 600 единичных квадратов; наибольший квадрат, который теоретически возможно построить с помощью односвязных декамино — квадрат 210 × 210, для построения которого требуется 4410 декамино. Такой квадрат в действительности был построен Livio Zucca[20].

Псевдодекамино

Псевдополимино — обобщение полимино, набор полей бесконечной шахматной доски, которые может обойти король[1]. Существует 758 381 двустороннее псевдодекамино[21], 1 514 618 односторонних псевдодекамино[22] и 6 053 180 фиксированных псевдодекамино[23].

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Голомб, 1975.
  2. ↑ 2,0 2,1 Golomb, 1994.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Weisstein, Eric W. Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. ↑ Последовательность A000105 в OEIS
  5. ↑ Последовательность A000988 в OEIS
  6. ↑ Последовательность A001168 в OEIS
  7. ↑ 7,0 7,1 Redelmeier, 1981.
  8. ↑ Последовательность A001419 в OEIS
  9. ↑ 9,0 9,1 Tomás Oliveira e Silva. Detailed data for polyominoes with area 10 (December 19, 2014). Архивировано 26 сентября 2015 года.
  10. ↑ Последовательность A006749 в OEIS
  11. ↑ Последовательность A006746 в OEIS
  12. ↑ Последовательность A006748 в OEIS
  13. ↑ Последовательность A006747 в OEIS
  14. ↑ Последовательность A056877 в OEIS
  15. ↑ Последовательность A056878 в OEIS
  16. ↑ Rawsthorne, 1988.
  17. ↑ Joseph Myers. Polyomino, polyhex and polyiamond tiling. Архивировано 17 ноября 2015 года.
  18. ↑ Последовательности A054359, A054360, A054361 в OEIS
  19. ↑ Т.е. не содержащих отверстий.
  20. ↑ Giovanni Resta. Maximal squares of polyominoes. Iread.it. Архивировано 16 января 2014 года.
  21. ↑ Последовательность A030222 в OEIS
  22. ↑ Последовательность A030233 в OEIS
  23. ↑ Последовательность A006770 в OEIS

Литература


Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Декамино&oldid=5854159