P-группа

p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.

Примеры

Циклическая группа порядка [math]\displaystyle{ p^n }[/math] и прямые произведения таких групп.
- Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров.
Группа Гейзенберга по модулю [math]\displaystyle{ p }[/math] — простейший пример некоммутативной p-группы.
Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы.

Центр [math]\displaystyle{ Z(P) }[/math] нетривиальной конечной p-группы [math]\displaystyle{ P }[/math] является нетривиальной группой.
- В частности, все p-группы нильпотентны.
- Более того, если [math]\displaystyle{ H }[/math] нормальная подгруппа в p-группе [math]\displaystyle{ P }[/math], то [math]\displaystyle{ |H\cap Z(P)|\gt 1 }[/math].
  - Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям.
Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова).
- Более того любая группа порядка [math]\displaystyle{ p^n }[/math] является p-группой (следует из теоремы Лежандра).
При [math]\displaystyle{ n\rightarrow\infty }[/math] число неизоморфних групп порядка [math]\displaystyle{ p^n }[/math] асимптотически равно
[math]\displaystyle{ p^{\frac2{27}\cdot n^3 +O(n)} }[/math].

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рус.)
Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.