Энстрофия

В гидродинамике энстрофия Шаблон:Mathcal может интерпретироваться как другой тип потенциальной плотности; или, более конкретно, количество, непосредственно связанное с кинетической энергией в модели потока, которое соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных течений, и его часто идентифицируют при изучении двигателя, а также в области теории горения.

Для заданной области [math]\displaystyle{ \Omega \subseteq \R^n }[/math] и однократно слабо дифференцируемого векторного поля [math]\displaystyle{ u \in H^1(\R^n)^n }[/math], которое представляет поток жидкости, такой как решение уравнений Навье-Стокса, его энстрофия определяется как:

[math]\displaystyle{ \mathcal{E}(u):= \int_\Omega |\nabla \mathbf{u}|^2 \, dx, }[/math]

где [math]\displaystyle{ |\nabla \mathbf{u}|^2 = \sum_{i,j=1}^n \left| \partial_i u^j \right|^2 }[/math]. Эта величина совпадает с квадратом полунормы [math]\displaystyle{ |\mathbf{u}|_{H^1(\Omega)^n}^2 }[/math]решения в пространстве Соболева [math]\displaystyle{ H^1(\Omega)^n }[/math].

В случае, когда поток несжимаемый или, что эквивалентно, [math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 }[/math], энстрофия может быть описана как интеграл от квадрата завихренность [math]\displaystyle{ \mathbf{\omega} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathcal{E}(\boldsymbol \omega) \equiv \int_\Omega |\boldsymbol \omega|^2 \,dx }[/math]

или, с точки зрения скорости потока,

[math]\displaystyle{ \mathcal{E}(\mathbf{u}) \equiv \int_{S} |\nabla \times \mathbf u|^2 \,dS \,. }[/math]

В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия проявляется в следующем полезном результате

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \int_\Omega |\mathbf{u}|^2 \right) = - \nu \mathcal{E}(\mathbf{u}) . }[/math]

Величина в скобках слева — это энергия потока, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости [math]\displaystyle{ \nu }[/math], умноженной на энтрофию.

Источники

• (December 2004) «Hydrodynamic stability of rotationally supported flows: Linear and nonlinear 2D shearing box results». Astronomy and Astrophysics 427 (3): 855–872. arXiv:astro-ph/0404020. doi:10.1051/0004-6361:20040573. .
• (March 1991) «The dynamics of enstrophy transfer in two-dimensional hydrodynamics». Physica D: Nonlinear Phenomena 48 (2–3): 273–294. doi:10.1016/0167-2789(91)90088-Q. .