Циссоида

Циссоида — кривая, созданная из двух заданных кривых C₁, C₂ относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C₁ в точке P₁, а C₂ — в точке P₂. Пусть P — точка на L такая, что OP = P₁P₂ (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P₂ от P₁). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C₁, C₂ относительно O.

Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP₁ + OP₂. Это определение эквивалентно приведённому, если C₁ заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P₁ и P₂. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.

Слово «циссоида» пришло из греческого языка — kissoeidēs «подобный плющу» — от kissos «плющ» и oeidēs «подобный».

Уравнения

Если C₁ и C₂ заданы в полярных координатах функциями [math]\displaystyle{ r=f_1(\theta) }[/math] и [math]\displaystyle{ r=f_2(\theta) }[/math] соответственно, то уравнение [math]\displaystyle{ r=f_2(\theta)-f_1(\theta) }[/math] задаёт циссоиду C₁ и C₂ относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C₁ можно задать как

[math]\displaystyle{ r=-f_1(\theta+\pi),\ r=-f_1(\theta-\pi),\ r=f_1(\theta+2\pi),\ r=f_1(\theta-2\pi),\ \dots }[/math].

Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями

[math]\displaystyle{ r=f_2(\theta)-f_1(\theta),\ r=f_2(\theta)+f_1(\theta+\pi),\ r=f_2(\theta)+f_1(\theta-\pi),\ }[/math]

[math]\displaystyle{ r=f_2(\theta)-f_1(\theta+2\pi),\ r=f_2(\theta)-f_1(\theta-2\pi),\ \dots }[/math].

Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.

Например, пусть C₁ и C₂ — это эллипсы

[math]\displaystyle{ r=\frac{1}{2-\cos \theta} }[/math].

Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением

[math]\displaystyle{ r=\frac{1}{2-\cos \theta}-\frac{1}{2-\cos \theta}=0 }[/math],

то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением

[math]\displaystyle{ r=\frac{-1}{2+\cos \theta} }[/math],

так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:[math]\displaystyle{ r=\frac{1}{2-\cos \theta}+\frac{1}{2+\cos \theta} }[/math], и эта кривая имеет форму овала.

Если C₁ и C₂ заданы параметрическими уравнениями

[math]\displaystyle{ x = f_1(p),\ y = px }[/math]

и

[math]\displaystyle{ x = f_2(p),\ y = px }[/math],

то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:[math]\displaystyle{ x = f_2(p)-f_1(p),\ y = px }[/math].

Специальные случаи

Если C₁ является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C₂.

Если C₁ и C₂ — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.

Гиперболы

Пусть C₁ и C₂ — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C₁ и C₂ задаются в полярных координатах уравнениями

[math]\displaystyle{ r=\frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha_1)} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ r=\frac{a_2}{\cos (\theta-\alpha_2)} }[/math].

Мы можем повернуть на угол [math]\displaystyle{ (\alpha_1-\alpha_2)/2 }[/math] так, что можем предположить, что [math]\displaystyle{ \alpha_1 = \alpha,\ \alpha_2 = -\alpha }[/math]. Тогда циссоида C₁ и C₂ относительно начала координат задаётся уравнением

[math]\displaystyle{ r=\frac{a_2}{\cos (\theta+\alpha)} - \frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha)} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{a_2\cos (\theta-\alpha)-a_1\cos (\theta+\alpha)}{\cos (\theta+\alpha)\cos (\theta-\alpha)} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{(a_2\cos\alpha-a_1\cos\alpha)\cos\theta-(a_2\sin\alpha+a_1\sin\alpha)\sin\theta} {\cos^2\alpha\ \cos^2\theta-\sin^2\alpha\ \sin^2\theta} }[/math].

Обозначив константные выражения, получим

[math]\displaystyle{ r=\frac{b\cos\theta+c\sin\theta}{\cos^2\theta-m^2\sin^2\theta} }[/math]

что в декартовых координатах превращается в

[math]\displaystyle{ x^2-m^2y^2=bx+cy }[/math].

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоиды Зарадника

Циссоида Зарадника (названа по имени Карела Зарадника^[англ.]) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой

[math]\displaystyle{ 2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2) }[/math]

является циссоидой окружности [math]\displaystyle{ (x+a)^2+y^2 = a^2 }[/math] и прямой [math]\displaystyle{ x={-{a \over 2}} }[/math] относительно начала координат.

Правая строфоида

[math]\displaystyle{ y^2(a+x) = x^2(a-x) }[/math]

является циссоидой окружности [math]\displaystyle{ (x+a)^2+y^2 = a^2 }[/math] и прямой [math]\displaystyle{ x=-a }[/math] относительно начала координат.

Циссоида Диокла

[math]\displaystyle{ x(x^2+y^2)+2ay^2=0 }[/math]

является циссоидой окружности [math]\displaystyle{ (x+a)^2+y^2 = a^2 }[/math] и прямой [math]\displaystyle{ x=-2a }[/math] относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.

Циссоида окружности [math]\displaystyle{ (x+a)^2+y^2 = a^2 }[/math] и прямой [math]\displaystyle{ x=ka }[/math], где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.

Декартов лист

[math]\displaystyle{ x^3+y^3=3axy }[/math]

является циссоидой эллипса [math]\displaystyle{ x^2-xy+y^2 = -a(x+y) }[/math] и прямой [math]\displaystyle{ x+y=-a }[/math] относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как

[math]\displaystyle{ x=-\frac{a}{1+p},\ y=px }[/math],

а эллипс можно задать как

[math]\displaystyle{ x=-\frac{a(1+p)}{1-p+p^2},\ y=px }[/math].

Так что циссоида задаётся уравнением

[math]\displaystyle{ x=-\frac{a}{1+p}+\frac{a(1+p)}{1-p+p^2} = \frac{3ap}{1+p^3},\ y=px }[/math]

и это уравнение является параметрической форой листа.

См. также

Литература

Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.
J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 53—56. — ISBN 0-486-60288-5.
Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Cissoid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
C. A. Nelson «Note on rational plane cubics» Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71—76.
2D Curves
«Courbe Cissoïdale» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)
«Cissoïdales de Zahradnik» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)