Теория кос
Теория кос — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы кос, составленные из их классов эквивалентности.
Определение косы
Коса из [math]\displaystyle{ n }[/math] нитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей [math]\displaystyle{ P_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] в трёхмерном пространстве [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math], содержащих упорядоченные множества точек [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\dots,a_n\in P_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ b_1,b_2,\dots,b_n\in P_1 }[/math], и из [math]\displaystyle{ n }[/math] непересекающихся между собой простых дуг [math]\displaystyle{ l_1,l_2,\dots,l_n }[/math], пересекающих каждую параллельную плоскость [math]\displaystyle{ P_t }[/math] между [math]\displaystyle{ P_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] однократно и соединяющих точки [math]\displaystyle{ \{a_i\} }[/math] с точками [math]\displaystyle{ \{b_i\} }[/math].
Обычно считается, что точки [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\dots,a_n }[/math] лежат на прямой [math]\displaystyle{ l_0 }[/math] в [math]\displaystyle{ P_0 }[/math], а точки [math]\displaystyle{ b_1,b_2,\dots,b_n }[/math] на прямой [math]\displaystyle{ l_1 }[/math] в [math]\displaystyle{ P_1 }[/math], параллельной [math]\displaystyle{ l_0 }[/math], причем [math]\displaystyle{ a_i }[/math] расположены под [math]\displaystyle{ b_i }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ i }[/math].
Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через [math]\displaystyle{ l_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ l_1 }[/math], эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.
Косы и узлы обобщаются понятием связки.
Группа кос
Во множестве всех кос с n нитями и с фиксированными [math]\displaystyle{ P_0, P_1, \{a_i\}, \{b_i\} }[/math] вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами [math]\displaystyle{ h:\Pi\to \Pi }[/math], где [math]\displaystyle{ \Pi }[/math] — область между [math]\displaystyle{ P_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ P_1 }[/math], тождественными на [math]\displaystyle{ P_0\cup P_1 }[/math]. Косы [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм [math]\displaystyle{ h }[/math], что [math]\displaystyle{ h(\alpha)=\beta }[/math].
Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос [math]\displaystyle{ B(n) }[/math]. Единичная коса — класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков. Коса [math]\displaystyle{ \alpha^{-1} }[/math], обратная косе [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], определяется отражением в плоскости [math]\displaystyle{ P_{1/2} }[/math]
Нить косы соединяет [math]\displaystyle{ a_i }[/math] с [math]\displaystyle{ b_{j_i} }[/math] и определяет подстановку, элемент симметрической группы [math]\displaystyle{ S_n }[/math]. Если эта подстановка тождественна, то коса называется крашеной (или чистой) косой. Это отображение задаёт эпиморфизм [math]\displaystyle{ B(n) }[/math] на группу [math]\displaystyle{ S_n }[/math] перестановок n элементов, ядром которого является подгруппа [math]\displaystyle{ K(n) }[/math], соответствующая всем чистым косам, так что имеется короткая точная последовательность
- [math]\displaystyle{ 0 \to K(n)\to B(n)\to S _n\to 0 }[/math]
См. также
- Теория узлов
- Хореография n тел — раздел динамики, в котором теория кос сыскала приложение.
Литература
- Сосинский А., Косы и узлы. Квант № 2, 1989, стр. 6-14
