Перейти к содержанию

Матроид

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Матроид — классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество.

Аксиоматическое определение

Матроид — пара [math]\displaystyle{ (X,I) }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — конечное множество, называемое носителем матроида, а [math]\displaystyle{ I }[/math] — некоторое множество подмножеств [math]\displaystyle{ X }[/math], называемое семейством независимых множеств , то есть [math]\displaystyle{ I \subset }[/math] [math]\displaystyle{ 2^X }[/math]. При этом должны выполняться следующие условия:

  1. Пустое множество является независимым множеством, т.е. [math]\displaystyle{ \varnothing \in I }[/math].
  2. Все подмножества независимого множества также независимые множества, т.е. если [math]\displaystyle{ A \in I }[/math] и [math]\displaystyle{ B \subset A }[/math], то [math]\displaystyle{ B \in I }[/math].
  3. Если [math]\displaystyle{ A,B \in I }[/math] и мощность A больше мощности B, то существует [math]\displaystyle{ x \in A \setminus B }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ B \cup \{x\} \in I }[/math].

Базами матроида называются максимальные по включению независимые множества. Подмножества [math]\displaystyle{ X }[/math], не принадлежащие [math]\displaystyle{ I }[/math], называются зависимыми множествами. Минимальные по включению зависимые множества называются циклами матроида. Это понятие используется в альтернативном определении матроида.

Определение в терминах циклов

Матроид — пара [math]\displaystyle{ (X,C) }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — носитель матроида, а [math]\displaystyle{ C }[/math] — семейство непустых подмножеств [math]\displaystyle{ X }[/math], называемое множеством циклов матроида, для которых выполняются следующие условия:[1]

  1. Ни один цикл не является подмножеством другого
  2. Если [math]\displaystyle{ x \in C_1 \cap C_2 }[/math], то [math]\displaystyle{ C_1 \cup C_2 \setminus \{x\} }[/math] содержит цикл

Определение в терминах правильного замыкания

Пусть [math]\displaystyle{ (P, \le) }[/math] — частично упорядоченное множество. [math]\displaystyle{ H: P \to P }[/math] — замыкание в [math]\displaystyle{ (P, \le) }[/math], если

  1. Для любого x из P : [math]\displaystyle{ H(x) \ge x }[/math].
  2. Для любых x, y из P : [math]\displaystyle{ x \le y \Rightarrow H(x) \le H(y) }[/math].
  3. Для любого x из P : [math]\displaystyle{ H\big(H(x)\big) = H(x) }[/math].

Рассмотрим [math]\displaystyle{ (P, \le) = (2^S, \le) }[/math] случай, когда частично упорядоченное множество — булева алгебра. Пусть [math]\displaystyle{ A \to H(A) }[/math] — замыкание [math]\displaystyle{ A \subset S }[/math].

  1. Замыкание правильно (аксиома правильного замыкания), если [math]\displaystyle{ (p \not \in A, p \in H(A \cup \{ q \}) ) \Rightarrow q \in H(A \cup \{ p \}) }[/math]
  2. для любого [math]\displaystyle{ A \subset S }[/math] существует такое [math]\displaystyle{ B \subset A }[/math], что
    1. [math]\displaystyle{ |B|\lt +\infty }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ H\left(B\right)=H\left(A\right) }[/math]

Пара [math]\displaystyle{ (S, A\to H(A)) }[/math], где [math]\displaystyle{ A \to H(A) }[/math] — правильное замыкание на [math]\displaystyle{ (2^S,\le) }[/math], называется матроидом.

Примеры

  1. Универсальный матроид Un k. Множество X имеет мощность n, независимыми множествами являются подмножества мощностью не больше k. Базы — подмножества мощностью k.
  2. Матроид циклов графа. Множество X — множество ребер графа, независимые множества — ациклические подмножества этих ребер, циклы — простые циклы графа. Базами являются остовные леса графа. Матроид называется графическим, если он является матроидом циклов некоторого графа.[2]
  3. Матроид подмножеств множества ребер графа, таких что удаление подмножества оставляет граф связным.
  4. Матроид коциклов графа. Множество X — множество ребер, коциклы — минимальные множества, удаление которых приводит к потере связности графа. Матроид называется кографическим, если он является матроидом коциклов некоторого графа.[2]
  5. Матричный матроид. Семейство всех линейно независимых подмножеств любого конечного множества векторов произвольного непустого векторного пространства является матроидом.

Определим множество E, как множество состоящее из {1, 2, 3, .., n} — номеров столбцов некоторой матрицы, а множество I, как множество состоящее из подмножеств E, таких, что векторы, определяемые ими, являются линейно независимыми над полем вещественных чисел R. Зададимся вопросом — какими свойствами обладает построенное множество I?

  1. Множество I непусто. Даже если исходное множество E было пусто — E = ∅, то I будет состоять из одного элемента — множества, содержащего пустое. I = { {∅} }.
  2. Любое подмножество любого элемента множества I также будет элементом этого множества. Это свойство понятно — если некоторый набор векторов линейно независим над полем, то линейно независимым будет также любой его поднабор.
  3. Если A, B ∈ I, причем |A| = |B| + 1, тогда существует элемент x ∈ A − B , такой что B ∪ {x} ∈ I.

Докажем, что в рассмотренном примере множество линейно независимых столбцов действительно является матроидом. Для этого достаточно доказать третье свойство из определения матроида. Проведем доказательство методом от противного.

Доказательство. Пусть A, B ∈ I и |A| = |B| + 1. Пусть W будет пространством векторов, охватываемым A ∪ B . Понятно, что его размерность будет не менее |A|. Предположим, что B ∪ {x} будет линейно зависимо для всех x ∈ A − B (то есть третье свойство не будет выполняться). Тогда B образует базис в пространстве W. Из этого следует, что |A| ≤ dim W ≤ |B|. Но так как по условию A и B состоят из линейно независимых векторов и |A| > |B|, получаем противоречие. Такое множество векторов будет являться матроидом.

Дополнительные понятия

  • Двойственным данному матроиду называется матроид, носитель которого совпадает с носителем данного матроида, а базы — дополнения баз данного матроида до носителя. То есть X* = X, а множество баз двойственного матроида — это множество таких B*, что B* = X \ B, где B — база данного матроида.
  • Циклом (или цепью) в матроиде называется такое множество A ⊂ X, что A ∉ I, и для любого B ⊂ A, если B ≠ A, то B ∈ I
  • Рангом матроида называется мощность его баз. Ранг тривиального матроида равен нулю.

Матроид Фано

Матроид Фано

Матроиды с маленьким числом элементов часто изображают в виде диаграмм. Точки — это элементы основного множества, а кривые «протянуты» через каждую трёхэлементную цепь. Диаграмма показывает 3-ранговый матроид, называемый матроидом Фано, пример, который появился в 1935 в статье Уитни.

Название возникло из того факта, что матроид Фано представляет собой проективную плоскость второго порядка, известную как плоскость Фано, чьё координатное поле — это двухэлементное поле. Это означает, что матроид Фано — это векторный матроид, связанный с семью ненулевыми векторами в трехмерном векторном пространстве над полем двух элементов.

Из проективной геометрии известно, что матроид Фано непредставим произвольным множеством векторов в вещественном или комплексном векторном пространстве (или в любом векторном пространстве над полем, чьи характеристики отличаются от 2).

Теоремы

  • Все базы матроида имеют одинаковую мощность.
  • Матроид однозначно задается носителем и базами.
  • Цикл не может быть подмножеством другого цикла.
  • Если [math]\displaystyle{ C_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] — циклы, то для любого [math]\displaystyle{ x \in C_1 \cap C_2 : C_1 \cup C_2 \setminus \{x\} }[/math] содержит цикл.
  • Если [math]\displaystyle{ B }[/math] — база и [math]\displaystyle{ x \notin B }[/math], то [math]\displaystyle{ B \cup \{x\} }[/math] содержит ровно один цикл.

Применение

Литература

  • Асанов М. О. и др. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. — Ижевск: ННЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 288.
  • Ф. Харари. Теория графов. — Москва: УРСС, 2003. — С. 300. ISBN 5-354-00301-6
  • Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. — 3-е. — СПб.: Питер, 2008. — С. 101—105. — 384 с. — ISBN 978-5-91180-759-7.

Ссылки и примечания

https://web.archive.org/web/20080619011117/http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/unsorted/matroids-2004

  1. ↑ Ф. Харари. Теория графов, с. 57.
  2. ↑ 2,0 2,1 Ф. Харари. Теория графов, с. 186.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Матроид&oldid=5819303