Изофота
Изофота (англ. Isophote) — кривая на освещённой поверхности, соединяющая точки с одинаковой яркостью. Предположим, что освещённость создаётся пучком параллельных лучей света, а яркость [math]\displaystyle{ b }[/math] выражается скалярным произведением
- [math]\displaystyle{ b(P)= \vec n(P)\cdot \vec v=\cos\varphi\ . }[/math]
[math]\displaystyle{ \vec n(P) }[/math] представляет собой единичный вектор, нормальный к поверхности в точке [math]\displaystyle{ P }[/math], а вектор [math]\displaystyle{ \vec v }[/math] является единичным вектором в направлении распространения света. В случае [math]\displaystyle{ b(P)=0 }[/math], когда свет перпендикулярен к нормали к поверхности, точка [math]\displaystyle{ P }[/math] является точкой на силуэте поверхности в направлении [math]\displaystyle{ \vec v }[/math]. Яркость 1 означает, что луч света перпендикулярен поверхности. На плоскости в рамках предположения о параллельности пучка лучей изофоты будут отсутствовать.
В астрономии изофотой называют кривую на изображении объекта, соединяющую точки с одинаковой яркостью. [1]
Применение и пример
В системах автоматизированного проектирования изофоты используются для оптического контроля гладкости стыковки поверхностей. Для поверхности (заданной неявно или параметрически), дифференцируемой достаточное количество раз, вектор нормали зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность имеют на 1 меньший порядок, чем сама поверхность. Если в точке поверхности непрерывными являются только касательные плоскости (гладкость порядка 1), то изофоты обладают изломами (гладкость только нулевого порядка).
В следующем примере две пересекающиеся поверхности Безье закрыты участком третьей поверхности. На рисунке слева закрывающая поверхность касается поверхностей Безье с порядком гладкости 1, на рисунке справа — с порядком гладкости 2. Из самих рисунков разница ситуаций видна плохо, но исследование геометрической непрерывности изофот показывает: на рисунке слева изофоты имеют изломы (гладкость порядка 0), а на рисунке справа изофоты выглядят гладкими (гладкость порядка 1).
-
Изофоты на двух поверхностях Безье: слева видны изломы, справа изофоты гладкие.
Определение точек изофоты
на неявно заданной поверхности
Для неявно заданной поверхности с уравнением [math]\displaystyle{ f(x,y,z)=0 }[/math] изофоты удовлетворяют равенству
- [math]\displaystyle{ \frac{\nabla f \cdot \vec v}{|\nabla f|}= c \ . }[/math]
Это означает: точки на изофоте с заданным параметром [math]\displaystyle{ c }[/math] представляют собой решение нелинейной системы
- [math]\displaystyle{ \ f(x,y,z)=0, \qquad \nabla f (x,y,z)\cdot \vec v -c\;|\nabla f(x,y,z)|=0 \ , }[/math]
которую можно рассматривать как линию пересечения двух неявно заданных поверхностей. Используя алгоритм, представленный Bajaj и др. (см. ссылки), можно вычислить многоугольник из точек изофот.
на параметрически заданной поверхности
В случае параметрически заданной поверхности [math]\displaystyle{ \vec x= \vec S(s,t) }[/math] уравнение для изофот имеет вид
- [math]\displaystyle{ \frac{(\vec S_s\times\vec S_t)\cdot\vec v}{|\vec S_s\times\vec S_t|}=c\ , }[/math]
что эквивалентно выражению
- [math]\displaystyle{ \ (\vec S_s\times\vec S_t)\cdot\vec v- c\;|\vec S_s\times\vec S_t|=0 \ . }[/math]
Данное уравнение описывает неявно заданную кривую в плоскости s-t, которую можно представить с помощью подходящего алгоритма и преобразовать с помощью [math]\displaystyle{ \vec S(s,t) }[/math] в точки на поверхности.
Литература
- J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6, p. 31.
- Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. al.: Biometric Recognition, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4, p. 158.
- C.L. Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch, J.E.H. Hopcroft: Tracing Surface Intersections, (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, pp. 285–307.
- C. T. Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods, Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4, p. 209.
Примечания
- ↑ J. Binney, M. Merrifield: Galactic Astronomy, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1, p. 178.