Гомотопия

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений [math]\displaystyle{ F_t\colon X\to Y,\; t\in [0,1] }[/math], непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение [math]\displaystyle{ F\colon[0,1]\times X\to Y }[/math].

Связанные определения

Отображения [math]\displaystyle{ f,g\colon X\to Y }[/math] называются гомотопными ([math]\displaystyle{ g\sim f }[/math]), если существует гомотопия [math]\displaystyle{ f_t }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ f_0=f }[/math] и [math]\displaystyle{ f_1=g }[/math].
- Это задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями [math]\displaystyle{ X\to Y }[/math].

Гомотопическая эквивалентность топологических пространств [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — пара непрерывных отображений [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] и [math]\displaystyle{ g\colon Y\to X }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ f\circ g\sim\operatorname{id}_Y }[/math] и [math]\displaystyle{ g\circ f\sim\operatorname{id}_X }[/math], здесь [math]\displaystyle{ \sim }[/math] обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что [math]\displaystyle{ X }[/math] с [math]\displaystyle{ Y }[/math] имеют один гомотопический тип.
- Если [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] гомеоморфны ([math]\displaystyle{ X\simeq Y }[/math]), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.
- Гомотопический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств; то есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.

Если на некотором подмножестве [math]\displaystyle{ A\subset X,\; F(t,a)=f(a) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ t }[/math] при [math]\displaystyle{ a\in A }[/math], то [math]\displaystyle{ F }[/math] называется гомотопией относительно [math]\displaystyle{ A }[/math], а [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] гомотопными относительно [math]\displaystyle{ A }[/math].

Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют стягиваемым или гомотопным нулю.

Вариации и обобщения

Изотопия — гомотопия топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] по топологическому пространству [math]\displaystyle{ Y }[/math] [math]\displaystyle{ f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1] }[/math], в которой при любом [math]\displaystyle{ t }[/math] отображение [math]\displaystyle{ f_t }[/math] является гомеоморфизмом [math]\displaystyle{ X }[/math] на [math]\displaystyle{ f_t(X)\subset Y }[/math].

Отображение [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп. Подпространство [math]\displaystyle{ A }[/math] топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] такое, что включение [math]\displaystyle{ A\subset X }[/math] является слабой гомотопической эквивалентностью, называется репрезентативным подпространством.

Если [math]\displaystyle{ \varphi:E\to X }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi':E'\to X }[/math] есть произвольные расслоения над [math]\displaystyle{ X, }[/math] то гомотопия [math]\displaystyle{ f_{t}:E\to E' }[/math] называется послойной, если [math]\displaystyle{ \varphi'f_{t}=\varphi. }[/math] Морфизмы [math]\displaystyle{ f,g:E\to E' }[/math] послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия [math]\displaystyle{ f_{t}:E\to E', }[/math] для которой выполняются равенства [math]\displaystyle{ f_{0}=f }[/math] и [math]\displaystyle{ f_{1}=g. }[/math] Морфизм [math]\displaystyle{ f:E\to E' }[/math] — послойная гомотопическая эквивалентность, если существует морфизм [math]\displaystyle{ g:E'\to E }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ gf }[/math] и [math]\displaystyle{ fg }[/math] послойно гомотопны [math]\displaystyle{ \mathrm{Id}. }[/math] Расслоения [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ E' }[/math] принадлежат к одному и тому же послойному гомотопическому типу, если существует хотя бы одна послойная эквивалентность [math]\displaystyle{ f:E\to E'. }[/math]

См. также

Литература

Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971