Гомотетия

Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом [math]\displaystyle{ k\ne 0 }[/math], переводящее каждую точку [math]\displaystyle{ X }[/math] в точку [math]\displaystyle{ X' }[/math] такую, что [math]\displaystyle{ \overrightarrow{OX'}=k\overrightarrow{OX} }[/math]. При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через [math]\displaystyle{ H_O^k }[/math].

Свойства

Является частным случаем преобразования подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии [math]\displaystyle{ k }[/math]» можно говорить «коэффициент подобия [math]\displaystyle{ k }[/math]».
Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как [math]\displaystyle{ A'B'/AB=B'C'/BC= k }[/math], то их площади будут относиться как [math]\displaystyle{ k^2 }[/math] (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба).
Композиция гомотетий с коэффициентами [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ k_2 }[/math], произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом [math]\displaystyle{ k_1 k_2 }[/math], центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.

Вариации и обобщения

Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как [math]\displaystyle{ R_O^{\varphi}\circ H_O^k=H_O^k\circ R_O^{\varphi} }[/math]. Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как [math]\displaystyle{ R_O^{180^{\circ}}\circ H_O^k=H_O^{-k} }[/math].

См. также

Ссылки