Арбелос

Лезвие сапожного ножа похоже на арбелос.

Арбелос (греч. άρβυλος — сапожный нож) — плоская геометрическая фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два меньших, диаметры которых лежат на диаметре большого и разбивают его на две части. Точнее, пусть A, B и C — точки на одной прямой, тогда три полуокружности с диаметрами AB, BC и AC, расположенные по одну сторону от этой прямой, ограничивают арбелос.

Свойства

Теорема Паппа Александрийского

Теорема Паппа: [math]\displaystyle{ h_1=d_1 }[/math], [math]\displaystyle{ h_2=2d_2 }[/math],…, [math]\displaystyle{ h_n=nd_n }[/math].

Даны арбелос ABC (точка A лежит между точками B и C) и окружности [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \omega_2 }[/math],…,[math]\displaystyle{ \omega_n }[/math] ([math]\displaystyle{ n\in N }[/math]), причем окружность [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math] касается дуг AB, BC и AC, а при [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math] окружность [math]\displaystyle{ \omega_n }[/math] касается дуг AB и BC и окружности [math]\displaystyle{ \omega_{n-1} }[/math].

Тогда при любом натуральном [math]\displaystyle{ n }[/math] расстояние от центра окружности [math]\displaystyle{ \omega_n }[/math] до прямой BC равно произведению диаметра этой окружности на её номер [math]\displaystyle{ n }[/math]:

[math]\displaystyle{ h_n=nd_n }[/math].

Площадь

Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром HA.

[math]\displaystyle{ S=\frac{1}{4}\pi |HA|^2 }[/math],

где H — точка на окружности с диаметром BC, такая, что AH перпендикулярно BC.

Прямоугольник

Отрезок BH пересекает полуокружность BA в точке D. Отрезок CH пересекает полуокружность AC в точке E. Тогда DHEA является прямоугольником.

Касательные

Прямая DE касается полуокружности BA в точке D и полуокружности AC в точке E.

Замечание

Две равные архимедовы окружности-близнецы (красные) в арбелосе (серый)

В «Леммах» также рассматриваются Архимедовы окружности-близнецы (см. рис.).

См. также

• Салинон
• Цепь Паппа Александрийского
• Архимед
• Линия Шоха

Литература

• Mortimer Brian. The Geometry of The Arbelos. — Carleton University, 1998.
• Леон Банков. 2.6. Как Папп доказал свою теорему? // Математический цветник / Сост. и ред. Д. А. Кларнер; пер. с англ. Ю. А. Данилова; под. ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1983. — С. 143-152.
• Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 25-26.