Перейти к содержанию

Уравнение xʸ = yˣ

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «X^y=y^x»)

Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство [math]\displaystyle{ x^y=y^x }[/math] выполняется для некоторых пар [math]\displaystyle{ (x,y), }[/math] например, [math]\displaystyle{ x=2, y=4. }[/math][1]

История

Уравнение [math]\displaystyle{ x^y=y^x }[/math] упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728[2]). В письме говорится, что при [math]\displaystyle{ x\ne y }[/math] пара [math]\displaystyle{ (2,4) }[/math] — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах[3][4]. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729[2]) содержится общее решение уравнения, полученное заменой [math]\displaystyle{ y=vx. }[/math][3] Аналогичное решение дано Эйлером[4]. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если [math]\displaystyle{ r, n }[/math] — положительные целые, [math]\displaystyle{ r\geqslant 3 }[/math] или [math]\displaystyle{ n\geqslant 3, }[/math] то [math]\displaystyle{ r^{r+n} \gt (r+n)^{r}, }[/math] таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x = 2. }[/math][4][5]

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе[3][4][2][6][7]. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема[8], что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля[3][9].

Решения в действительных числах

Основной источник: [1]

Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения [math]\displaystyle{ x=y. }[/math] Нетривиальные решения можно найти, положив [math]\displaystyle{ x\ne y, }[/math] [math]\displaystyle{ y = vx. }[/math] Тогда

[math]\displaystyle{ (vx)^x = x^{vx} = (x^v)^x. }[/math]

Возведение обеих сторон в степень [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{x} }[/math] с последующим делением на [math]\displaystyle{ x }[/math] даёт

[math]\displaystyle{ v = x^{v-1}. }[/math]

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

[math]\displaystyle{ x = v^{\frac{1}{v-1}}, }[/math]
[math]\displaystyle{ y = v^{\frac{v}{v-1}}. }[/math]

Нетривиальное решение в натуральных числах [math]\displaystyle{ 4^2=2^4 }[/math] можно получить, положив [math]\displaystyle{ v=2 }[/math] или [math]\displaystyle{ v=\tfrac{1}{2}. }[/math]

Решение в терминах W-функции Ламберта

Решение уравнения [math]\displaystyle{ y^x=x^y }[/math] возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] от переменной [math]\displaystyle{ x }[/math]:[10]

[math]\displaystyle{ y^x=x^y\Longleftrightarrow y^\frac{1}{y}=x^\frac{1}{x} }[/math], сделаем замену [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{z} }[/math]:

[math]\displaystyle{ y^\frac{1}{y}=\biggl(\frac{1}{z}\biggr)^{1\div \frac{1}{z}}\Longleftrightarrow \biggl(\frac{1}{z}\biggr)^z=y^\frac{1}{y}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^\frac{1}{y}\Longleftrightarrow z^z=y^{-\frac{1}{y}} }[/math]

Теперь переменную [math]\displaystyle{ z }[/math] можно выразить через W-функцию Ламберта: [math]\displaystyle{ z=e^{W\bigl(\ln\bigl(y^{-\frac{1}{y}}\bigr)\bigr)} }[/math]

Окончательно решение будет выглядеть так: [math]\displaystyle{ x=e^{-W\bigl(\ln\bigl(y^{-\frac{1}{y}}\bigr)\bigr)} }[/math]

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке [math]\displaystyle{ e^{-\frac{1}{e}}\leqslant y^{-\frac{1}{y}}\lt 1 }[/math] или [math]\displaystyle{ e^{\frac{1}{e}}\leqslant y^{\frac{1}{y}}\lt 1 }[/math] уравнение буде иметь два корня [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math].

Какой из параметров ([math]\displaystyle{ y }[/math] или [math]\displaystyle{ x }[/math]), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной [math]\displaystyle{ x }[/math](или [math]\displaystyle{ y }[/math]) верно неравенство [math]\displaystyle{ y }[/math](или [math]\displaystyle{ x }[/math])<[math]\displaystyle{ e^\frac{1}{e} }[/math], то корней в действительных числах нет.

Решение в терминах суперкорня второй степени

Уравнение [math]\displaystyle{ y^x=x^y }[/math] является частным случаем уравнения [math]\displaystyle{ y^{x}=bx^{n},\text{ }y,b=const }[/math] при [math]\displaystyle{ b=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ n=y }[/math]. Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:[11]

[math]\displaystyle{ y^x=x^y\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log_y\biggl({}^\frac{1}{2}\Bigl(y^{\pm \frac{1}{y\times \sqrt[y]{1}}}\Bigr)\biggr)^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log_y\biggl({}^\frac{1}{2}\Bigl(y^{\pm \frac{1}{y}}\Bigr)\biggr) }[/math]

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений [math]\displaystyle{ y^x=x^y }[/math] и [math]\displaystyle{ y^x=(-x)^y }[/math] при чётном [math]\displaystyle{ y }[/math], однако, на практике, существует только, максимум, два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени [math]\displaystyle{ f(z)={}^\frac{1}{2}z }[/math] есть обратная к вышеописанной функции [math]\displaystyle{ f(z)=z^z }[/math] (иначе [math]\displaystyle{ f(z)={}^2z }[/math]), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может[12].

Из данного решения вытекает тождественное равенство: [math]\displaystyle{ -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})}} }[/math]. Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

[math]\displaystyle{ -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})=-\frac{1}{y} }[/math], далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

[math]\displaystyle{ \log _{y}\biggl({}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})\biggr)^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})}=-\frac{1}{y}\Longleftrightarrow \log_{y}(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y} }[/math]. Доказанное тождество является частным от более общего случая при [math]\displaystyle{ b=-y }[/math][11].

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Lajos Lóczi. On commutative and associative powers. KöMaL. Архивировано 15 октября 2002 года.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 David Singmaster. Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition. Архивировано 16 апреля 2004 года.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Marta Sved. On the Rational Solutions of xy = yx // Mathematics Magazine. — 1990. Архивировано 4 марта 2016 года.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Leonard Eugene Dickson. Rational solutions of xy = yx // History of the Theory of Numbers. — Washington, 1920. — Vol. II. — P. 687.
  5. ↑ Hengel, Johann van. Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt. — 1888. Архивировано 14 апреля 2016 года.
  6. ↑ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. 5. Решение уравнений в целых числах. Задача 168 // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. — 5. — М.: Наука, 1976. — С. 35. — 384 с. — (Библиотека математического кружка). — 100 000 экз.
  7. ↑ Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1986. — С. 33, 34, 160.
  8. ↑ The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1 // The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964 / A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly. — MAA, 1980. — P. 59. — ISBN 0-88385-428-7.
  9. ↑ A. Hausner, Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm, Amer. Math. Monthly 68 (1961), 856—861.
  10. ↑ W-функция Ламберта // Википедия. — 2017-09-13.
  11. ↑ 11,0 11,1 Суперкорень // Википедия. — 2018-06-22.
  12. ↑ А. Е. Дубинов, И. Д. Дубинова, С.К. Сайков. W-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики. — Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2006. — 160 с. — ISBN 5-9515-0065-6, ББК 22.311я 73, Д79. Архивная копия от 27 июня 2018 на Wayback Machine

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Уравнение_xʸ_%3D_yˣ&oldid=5868329