Группа вращений

Группа вращений (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math]. По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц [math]\displaystyle{ 3\times 3 }[/math] с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math]).

Свойства

• Все группы вращений [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(n) }[/math], в том числе [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(2) }[/math], являются группами Ли.
• Группы вращений [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math] и вообще [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(n) }[/math] при [math]\displaystyle{ n \gt 2 }[/math] некоммутативны.
• Группа [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math] диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором [math]\displaystyle{ v }[/math]), проходящей через центр координат, и углом [math]\displaystyle{ \varphi \in [-\pi,\pi] }[/math]. Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор [math]\displaystyle{ \varphi v }[/math] и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам [math]\displaystyle{ \pi }[/math] и [math]\displaystyle{ -\pi }[/math] соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
• Универсальная накрывающая группы [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(3) }[/math] является специальной унитарной группой [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math], или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно. Группа [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math] различает повороты на углы [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha+2\pi }[/math], при этом повороту на угол [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] соответствует элемент [math]\displaystyle{ -1 }[/math] группы [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math]. Именно группа [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math] выступает в квантовой механике как группа симметрий вращения трёхмерного пространства, поэтому она может называться группой квантовых вращений.

Вариации и обобщения

Иногда группами вращений называют специальную ортогональную группу [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(n) }[/math] — группу вращения [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного евклидова пространства. Особым случай является группа вращений плоскости [math]\displaystyle{ \mathrm{SO}(2) }[/math] или U(1); в отличие от случая вращения трёхмерного пространства, она является коммутативной.

См. также

• Угловой момент
• Углы Эйлера
• Твёрдое тело
• Матрицы Паули

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — М.: Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — 148 с. — ISBN 5-93972-165-6.