Синфазная и квадратурная составляющие сигнала

Синфазная и квадратурная составляющие — результат представления аналогового сигнала [math]\displaystyle{ S(t) }[/math] в виде комбинации:

[math]\displaystyle{ S(t)=A_1(t)\cos(\omega_0 t) + A_2(t)\sin(\omega_0 t) }[/math],

где A1(t) называется синфазной составляющей (или I-составляющей, от англ. in-phase) сигнала [math]\displaystyle{ S(t) }[/math], минус A2(t) называется квадратурной составляющей (или Q-составляющей, от англ. quadrature) сигнала [math]\displaystyle{ S(t) }[/math]:

[math]\displaystyle{ I(t)=A_1(t) }[/math]

[math]\displaystyle{ Q(t)=-A_2(t) }[/math]

Если прямой спектр сигнала S(t) ограничен интервалом частот [ω1, ω2], то ω0=(ω2+ω1)/2. Хоть это разложение может быть получено для любого сигнала с конечным спектром, наибольший интерес оно представляет для узкополосных сигналов, то есть для сигналов с небольшой шириной спектра. Для таких сигналов, [math]\displaystyle{ A_1(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ A_2(t) }[/math] меняются медленно по сравнению с самим сигналом^[1].

Это разложение лежит в основе квадратурной амплитудной модуляции (КАМ, англ. QAM). На основе же КАМ созданы и широко используются такие виды модуляции, как BPSK и QPSK.

Гармонический сигнал

Известно, что линейная комбинация гармонических колебаний с одинаковой частотой есть гармоническое колебание с той же частотой. Верно и обратное: любой гармонический сигнал [math]\displaystyle{ S(t)=A \sin (\omega t + \varphi) }[/math] можно разложить в сумму двух сигналов той же частоты, но смещённых по фазе. Удобней всего взять сдвиг по фазе на [math]\displaystyle{ \pi/2 }[/math]. Это значит, что любое гармоническое колебание можно представить в виде суммы двух функций [math]\displaystyle{ \cos (\omega t) }[/math] и [math]\displaystyle{ \cos (\omega t-\frac{\pi}{2})=\sin (\omega t) }[/math]:

[math]\displaystyle{ S(t)=A \sin (\omega t + \varphi) = A_1\sin(\omega t) + A_2\cos(\omega t) }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ A_1=A\cos (\varphi), A_2=A\sin(\varphi) }[/math]. Это подобно тому, как вектор в плоскости с полярными координатами [math]\displaystyle{ (A,\varphi) }[/math] разлагается в сумму двух векторов [math]\displaystyle{ A_1 \vec{x} + A_2 \vec{y} }[/math], где [math]\displaystyle{ A_1=A\cos (\varphi), A_2=A\sin(\varphi) }[/math] — декартовы координаты исходного вектора.

Квазигармонический сигнал

Если сигнал не является чистым гармоническим сигналом, но является квазигармоническим, то есть сигналом вида [math]\displaystyle{ S(t)=A(t) sin (\omega t + \varphi(t)) }[/math], где амплитуда [math]\displaystyle{ A(t) }[/math] и фаза [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] меняются со временем, но не очень быстро по сравнению с частотой [math]\displaystyle{ \omega }[/math], то мы всё равно можем разложить [math]\displaystyle{ S(t) }[/math] таким же образом:

[math]\displaystyle{ S(t)= A_1(t) \cos(\omega t) + A_2(t) \sin(\omega t) }[/math]

Но теперь [math]\displaystyle{ A_1, A_2 }[/math] будут тоже зависеть от времени. Это и есть разложение на синфазную и квадратурную составляющие.

Комплексная огибающая

Для понятия смысла I/Q разложения полезно иметь представление о комплексной огибающей. Используя формулу Эйлера, комплексный сигнал [math]\displaystyle{ Z(t)= A(t) cos(\omega t + \varphi(t)) + j A(t) sin(\omega t + \varphi(t)) }[/math], где [math]\displaystyle{ j }[/math] — мнимая единица, можно представить в виде [math]\displaystyle{ Z(t) = A(t) e^{j(\omega t + \varphi(t))} }[/math], а в случае неравных значений амплитуд синусоидальной и косинусоидальной составляющих получим [math]\displaystyle{ Z(t)= A_1(t) cos(\omega t + \varphi(t)) + j A_2(t) sin(\omega t + \varphi(t)) }[/math] и тогда [math]\displaystyle{ Z(t) = \sqrt{A_1(t)^2 + A_2(t)^2}e^{j(\omega t + \varphi(t))} }[/math]

Квадратурная модуляция

Основное применение I/Q разложения — это квадратурная модуляция. Радиотехнический сигнал [math]\displaystyle{ S(t) }[/math] описывается такими основными параметрами, как: амплитуда [math]\displaystyle{ A(t) }[/math], несущая частота ω и начальная фаза φ.

[math]\displaystyle{ S(t)=A(t) sin(\omega t + \varphi) }[/math]

Каждый из этих параметров с течением времени может меняться в определённых пределах. В характере изменения того или иного параметра может содержаться передаваемая с помощью сигнала информация. Изменение того или иного параметра сигнала называется модуляцией. Различают также несущий сигнал и модулирующий сигнал (тот, который «накладывается» на несущий). Аргумент косинуса называется полной фазой [math]\displaystyle{ \Phi(t)=\omega t + \varphi }[/math]. Таким образом, можно говорить о том, что промодулированными могут быть либо амплитуда [math]\displaystyle{ A(t) }[/math] (амплитудная модуляция), либо полная фаза [math]\displaystyle{ \Phi(t) }[/math] (частотная и фазовая модуляции). Несущая частота сигнала является величиной постоянной, поэтому при модуляции можно управлять всего двумя параметрами — амплитудой и фазой. С учётом вышесказанного сигнал можно представить в виде

[math]\displaystyle{ S(t)=A(t) cos(\omega t + \varphi(t)) }[/math]

Основная идея квадратурной модуляции заключается в том, что сигнал [math]\displaystyle{ S(t) }[/math] представляется в виде суммы двух синусоидальных составляющих, разность фаз которых равна 90° (π/2). Первая составляющая: [math]\displaystyle{ I = I(t) cos(\omega t) }[/math]. Вторая составляющая: [math]\displaystyle{ Q=Q(t)cos(\omega t + \pi / 2) = Q(t) sin(\omega t) }[/math]. Путём изменения амплитуды I/Q-составляющих и их дальнейшим суммированием можно получить сигнал любого вида модуляции.

См. также

Примечания

↑ Зюко А. Г., Кловский Д. Д., Назаров М. В., Финк Л. М. Теория передачи сигналов. — М.: Связь, 1980. — С. 51. — 288 с.

Литература

Gast, Matthew. 802.11 Wireless Networks: The Definitive Guide (англ.). — 2. — Sebastopol,CA: O’Reilly Media, 2005. — Vol. 1. — P. 284. — ISBN 0596100523.
Franks, L.E. Signal Theory (неопр.). — Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1969. — С. 82. — (Information theory). — ISBN 0138100772.
Steinmetz, Charles Proteus. Lectures on Electrical Engineering (неопр.). — 1. — Mineola,NY: Dover Publications, 2003. — Т. 3. — ISBN 0486495388.
Steinmetz, Charles Proteus (1917). Theory and Calculations of Electrical Apparatus 6 (1 ed.). New York: McGraw-Hill Book Company. B004G3ZGTM.
Wade, Graham. Signal Coding and Processing (неопр.). — 2. — Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — С. 10. — ISBN 0521412307.
Naidu, Prabhakar S. Modern Digital Signal Processing: An Introduction (англ.). — Pangbourne RG8 8UT, UK: Alpha Science Intl Ltd, 2003. — P. 29—31. — ISBN 1842651331.

Ссылки

I/Q Data for Dummies (англ.)

[1] Зюко А. Г., Кловский Д. Д., Назаров М. В., Финк Л. М. Теория передачи сигналов. — М.: Связь, 1980. — С. 51. — 288 с.

[1]