Перейти к содержанию

Задача о пушечных ядрах

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «4900 (число)»)
Не следует путать с проблемой плотной упаковки равных сфер.
Единственный нетривиальный способ укладки пушечных ядер в квадрат и в пирамиду

Задача о пушечных ядрах (англ. cannonball problem) — задача о нахождении числа пушечных ядер, которые можно уложить и в один слой в форме квадрата, и в форме пирамиды с квадратом в основании, то есть о нахождении квадратных чисел, также являющихся квадратными пирамидальными числами. Нахождение этого числа сводится к решению диофантова уравнения [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N n^2 = M^2 }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{1}{6} N(N+1)(2N+1) = M^2 }[/math]. Уравнение имеет два решения: [math]\displaystyle{ N = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ M = 1 }[/math], то есть одно пушечное ядро, и [math]\displaystyle{ N = 24 }[/math] и [math]\displaystyle{ M = 70 }[/math], то есть 4900 пушечных ядер.

История задачи

Вопросы укладки пушечных ядер интересовали уже сэра Уолтера Рэли и его современника Томаса Хэрриота[1], однако в приведённой выше форме она была сформулирована в 1875 году Эдуаром Люка, предположившим, что кроме [math]\displaystyle{ N = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ N = 24 }[/math] других решений не существует[2]. Частичные доказательства были предложены Море-Бланом (1876)[3] и самим Люка (1877)[4]. Первое полное доказательство было предложено Уотсоном (1918)[5]; доказательство использовало эллиптические функции[6]. Ещё одно доказательство было предложено Люнггреном[англ.] (1952)[7] с использованием уравнения Пелля[8]. Доказательства с использованием только элементарных функций были предложены Ма (1985)[9] и Энглином (1990)[10][6].

Доказательства

Доказательство Уотсона

Доказательство Уотсона[5] основано на наблюдении, что из трёх чисел [math]\displaystyle{ N }[/math], [math]\displaystyle{ N+1 }[/math] и [math]\displaystyle{ 2N+1 }[/math] одно должно делиться на 3; и либо [math]\displaystyle{ N }[/math], либо [math]\displaystyle{ N+1 }[/math] должно быть чётным; и что все остальные множители должны быть квадратами. Тем самым возможны шесть вариантов:

  1. [math]\displaystyle{ N = 3a^2,\ N+1 = 2b^2,\ 2N+1 = c^2; }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ N = 2a^2,\ N+1 = 3b^2,\ 2N+1 = c^2; }[/math]
  3. [math]\displaystyle{ N = 2a^2,\ N+1 = b^2,\ 2N+1 = 3c^2; }[/math]
  4. [math]\displaystyle{ N = a^2,\ N+1 = 6b^2,\ 2N+1 = c^2; }[/math]
  5. [math]\displaystyle{ N = 6a^2,\ N+1 = b^2,\ 2N+1 = c^2; }[/math]
  6. [math]\displaystyle{ N = a^2,\ N+1 = 2b^2,\ 2N+1 = 3c^2. }[/math]

Однако, поскольку [math]\displaystyle{ 2b^2 }[/math] при делении на 3 может иметь только остатки 0 или 2, первый вариант приводит к противоречию. Аналогичным образом можно исключить второй, третий и четвёртый варианты.

Пятый вариант приводит к решению [math]\displaystyle{ N = 24 }[/math]. Действительно, [math]\displaystyle{ N = 6a^2,\ N+1 = b^2,\ 2N+1 = c^2 }[/math] возможно только при нечётном [math]\displaystyle{ c }[/math], и [math]\displaystyle{ (c-1)(c+1) = 12a^2 }[/math], то есть, существуют целые числа [math]\displaystyle{ d }[/math] и [math]\displaystyle{ e }[/math], такие что [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}(c-1) = d^2,\ \frac{1}{2}(c+1) = 3e^2,\ a = de }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}(c-1) = 3d^2,\ \frac{1}{2}(c+1) = e^2,\ a = de }[/math]. Однако, [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}(c-1) = d^2,\ \frac{1}{2}(c+1) = 3e^2,\ a = de }[/math] приводит к противоречию [math]\displaystyle{ 3e^2 - d^2 \equiv 1 \pmod{3} }[/math]. Следовательно, [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}(c-1) = 3d^2,\ \frac{1}{2}(c+1) = e^2,\ a = de }[/math], то есть, [math]\displaystyle{ c-1 = 6d^2,\ c+1 = 2e^2 }[/math] и [math]\displaystyle{ c+1 = 2e^2,\ c^2+1 = 2b^2 }[/math]. Как показано Жероно, [math]\displaystyle{ c = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ c = 7 }[/math] являются единственными решениями последней системы уравнений[11]. Случай [math]\displaystyle{ c = 1 }[/math] невозможен, так как [math]\displaystyle{ N = 0 }[/math]; случай [math]\displaystyle{ c = 7 }[/math] приводит к [math]\displaystyle{ N = 24 }[/math]. Альтернативное доказательство единственности решения [math]\displaystyle{ N = 24 }[/math] в этом случае использует то, что единственными решениями [math]\displaystyle{ y^2 = 8x^4 + 1 }[/math] являются [math]\displaystyle{ (0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3),\ (-1,\;-3) }[/math] и приведено в главе 6.8.2 книги Коэна[12].

Доказательство отсутствия нетривиальных решений в шестом варианте требует применения эллиптических функций. Действительно, шестой вариант можно привести к виду [math]\displaystyle{ 2b^2 - a^2 = 1, 2b^2 + a^2 = 3c^2 }[/math]. Вместо этих уравнений Уотсон рассматривает более общий случай [math]\displaystyle{ 2X^2 - Y^2 = Z^2, 2X^2 + Y^2 = 3W^2 }[/math] и показывает, что решения этих уравнений должны удовлетворять [math]\displaystyle{ \frac{Z}{W} = (-1)^r \operatorname{sd}((2r+1)\beta) \sqrt{\frac{3}{2}} }[/math], где [math]\displaystyle{ r }[/math] — неотрицательное целое число, [math]\displaystyle{ \beta }[/math] задана [math]\displaystyle{ \operatorname{sn}(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{cn}(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{dn}(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math], а [math]\displaystyle{ \operatorname{sn} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{cn} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{dn} }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{sd} }[/math] — эллиптические функции Якоби. Далее Уотсон доказывает, что [math]\displaystyle{ Z }[/math] численно равно единице, только если [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ X^2 = Y^2 = Z^2 = W^2 = 1 }[/math], и единственное возможное в этом случае решение [math]\displaystyle{ N = 1 }[/math].

Доказательство Ма

Доказательство единственности приведённых выше решений, предложенное Ма, основывается на последовательном доказательстве следующих утверждений[12]:

  • Единственным чётным решением задачи об укладке ядер является [math]\displaystyle{ (24,70) }[/math]. Действительно, чётность [math]\displaystyle{ n }[/math] позволяет исключить варианты 1, 4 и 6 из доказательства Уотсона, варианты 2 и 3 приводят к противоречию (см. доказательство Уотсона), а [math]\displaystyle{ (24,70) }[/math] — единственное решение возможное для варианта 5.
  • Пусть [math]\displaystyle{ \alpha = 2 + \sqrt{3}, \beta = 2 - \sqrt{3}, M_n = (\alpha^n + \beta^n)/2 }[/math]. Тогда для неотрицательных [math]\displaystyle{ n }[/math], [math]\displaystyle{ M_n }[/math] имеет вид [math]\displaystyle{ 4x^2 + 3 }[/math] только для [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math].
  • Единственным нечётным [math]\displaystyle{ N }[/math], удовлетворяющим задаче об укладке ядер, является [math]\displaystyle{ N = 1 }[/math]. Действительно, рассуждая аналогично доказательству Уотсона, нечётное [math]\displaystyle{ N }[/math] должно удовлетворять варианту 6, то есть, [math]\displaystyle{ N = a^2, N+1 = 2b^2, 2N+1 = 3c^2 }[/math]. Поскольку для любого [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ (4x+3)^2 - 8(x+1)(2x+1) = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ 4x+3 = 2(2x+1)+1 }[/math], это также справедливо для [math]\displaystyle{ N }[/math]. Подставляя [math]\displaystyle{ 2b^2 }[/math] и [math]\displaystyle{ 3c^2 }[/math] вместо [math]\displaystyle{ x+1 }[/math] и [math]\displaystyle{ 2x+1 }[/math], получим [math]\displaystyle{ (2(3c^2)+1)^2 - 8\cdot 2b^2 \cdot 3c^2 = 1 }[/math], то есть, [math]\displaystyle{ (6c^2+1)^2 - 3(4bc)^2 = 1 }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ 2 + \sqrt{3} }[/math] порождает группу единиц [math]\displaystyle{ \Z[\sqrt{3}] }[/math], существует [math]\displaystyle{ n\in \Z }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ 6c^2+1 + 4bc\sqrt{3} = \pm(M_n + G_n\sqrt{3}) }[/math], где [math]\displaystyle{ M_n }[/math] определено выше, а [math]\displaystyle{ G_n = (\alpha^n + \beta^n)/(\alpha - \beta) }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ M_n }[/math] положительно, [math]\displaystyle{ M_n = 6c^2+1 }[/math] и, по определению [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ M_n = 4a^2 + 3 }[/math]. По предыдущей лемме, [math]\displaystyle{ n = 2, M_n = 7 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ a = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math].

Подробности доказательства приведены в главе 6.8.2 книги Коэна[12].

Обобщения задачи

За исключением тривиального случая [math]\displaystyle{ N = 1 }[/math] не существует числа пушечных ядер, которые бы можно было уложить в виде пирамиды с квадратом в основании, и которое бы при этом одновременно являлось кубом, четвёртой или пятой степенью натурального числа[13]. Более того, это же справедливо для укладки ядер в виде правильного тетраэдра[13].

Другим обобщением задачи является вопрос о нахождении числа ядер, которые можно уложить в форме квадрата и усечённой пирамиды с квадратом в основании. То есть ищут [math]\displaystyle{ n }[/math] последовательных квадратов (не обязательно начиная с 1), сумма которых является квадратом. Известно, что множество [math]\displaystyle{ S }[/math] таких [math]\displaystyle{ n }[/math] бесконечно, имеет асимптотическую плотность ноль и для [math]\displaystyle{ n }[/math], не являющихся квадратами, существует бесконечно много решений[8]. Число [math]\displaystyle{ N(x) }[/math] элементов множества [math]\displaystyle{ S }[/math], не превышающих [math]\displaystyle{ x }[/math], оценивается как [math]\displaystyle{ c_1\sqrt{x} \lt N(x) \lt c_2 \frac{x}{\ln{ x}} }[/math]. Первые элементы [math]\displaystyle{ n }[/math] множества [math]\displaystyle{ S }[/math] и соответствующие наименьшие значения [math]\displaystyle{ a }[/math], такие что [math]\displaystyle{ \sum_{k=a}^{a+n-1} k^2 }[/math] является квадратом, приведены в следующей таблице[8]:

n 2 11 23 24 26 33 47 49 50 59
a 3 18 7 1 25 7 539 25 7 22

Для [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ a = 3 }[/math] решением является пифагорова тройка [math]\displaystyle{ 3^2 + 4^2 = 5^2 }[/math]. Для [math]\displaystyle{ n = 24 }[/math] и [math]\displaystyle{ a = 1 }[/math] решением является приведённое выше решение задачи об укладке пушечных ядер. Последовательность элементов множества [math]\displaystyle{ S }[/math] — последовательность A001032 в OEIS[14].

Ещё одно обобщение задачи было рассмотрено Канэко и Татибаной[15]: вместо вопроса о равенстве суммы первых квадратных чисел и другого квадратного числа, они рассмотрели вопрос о равенстве суммы первых многоугольных чисел и другого многоугольного числа и показали, что для любого [math]\displaystyle{ m\geqslant 3 }[/math] существует бесконечно много последовательностей первых [math]\displaystyle{ m }[/math]-угольных чисел, таких что их сумма равна другому многоугольному числу, и что для любого [math]\displaystyle{ n\geqslant 3 }[/math] существует бесконечное число [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольных чисел, представимых в виде суммы последовательностей первых многоугольных чисел. Более того, Канэко и Татибана установили, что для любого натурального [math]\displaystyle{ k }[/math] выполняются следующие отношения:

[math]\displaystyle{ Pyr_{m}(3(m-2)k - 2) = G_{9k+2}((m-2)^2k - m + 3), }[/math]
[math]\displaystyle{ Pyr_m(3k - 1) = G_{(m-2)k+3}(3k - 1), }[/math]
[math]\displaystyle{ Pyr_m(6k - 3) = G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k - 1), }[/math]
[math]\displaystyle{ G_n((n - 2)k^2 - 3k + 1) = Pyr_{3k+2}((n - 2)k - 2), }[/math]
[math]\displaystyle{ G_n(8k^2 - 6k + 1) = Pyr_{3(n-2)k+2}(4k - 2), }[/math]

где [math]\displaystyle{ G_m(n) }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math]-ое [math]\displaystyle{ m }[/math]-угольное число, а [math]\displaystyle{ Pyr_m(n) }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math]-ое [math]\displaystyle{ m }[/math]-угольное пирамидальное число, то есть, сумма [math]\displaystyle{ n }[/math] первых [math]\displaystyle{ m }[/math]-угольных чисел[15].

Связь с другими областями математики

Нетривиальное решение [math]\displaystyle{ N=24 }[/math] приводит к построению решётки Лича (которая, в свою очередь, связана с различными областями математики и теоретической физики — теория бозонных струн, монстр). Это делается с помощью чётной унимодулярной решётки [math]\displaystyle{ \mathrm{II}_{25,1} }[/math] в 25+1-мерном псевдоевклидовом пространстве. Рассмотрим вектор этой решётки [math]\displaystyle{ w=(0,\;1,\;2,\;\ldots,\;23,\;24;\;70) }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ N=24 }[/math] и [math]\displaystyle{ M=70 }[/math] — решение задачи об укладке пушечных ядер, этот вектор — светоподобный, [math]\displaystyle{ w\cdot w=0 }[/math], откуда, в частности, следует, что он принадлежит собственному ортогональному дополнению [math]\displaystyle{ w^\bot }[/math]. Согласно Конвею[16][17], вектор [math]\displaystyle{ w }[/math] позволяет построить решётку Лича

  • как фактормножество [math]\displaystyle{ (w^\bot\cap\mathrm{II}_{25,1})/w }[/math], которое корректно определено благодаря светоподобности [math]\displaystyle{ w }[/math];
  • как множество всех векторов [math]\displaystyle{ r\in\mathrm{II}_{25,1} }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ r\cdot r=2, r\cdot w=-1 }[/math]. Такие векторы составляют множество так называемых фундаментальных корней решётки [math]\displaystyle{ \mathrm{II}_{25,1} }[/math]. Во всех случаях, когда можно таким способом построить множество фундаментальных корней чётной унимодулярной решётки в псевдоевклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \mathrm{II}_{n,1} }[/math], всегда можно использовать целочисленный вектор с идущими подряд от ноля пространственными компонентами; а чтобы это множество образовывало решётку, этот вектор должен быть светоподобным. И поскольку [math]\displaystyle{ N=24 }[/math] — единственное нетривиальное решение задачи об укладке пушечных ядер, то 24-мерная решётка Лича — единственная решётка, которую можно таким способом получить из [math]\displaystyle{ \mathrm{II}_{n,1} }[/math].


См. также

Примечания

  1. ↑ David Darling. Cannonball Problem. The Internet Encyclopedia of Science. Дата обращения: 6 июля 2017. Архивировано 23 декабря 2017 года.
  2. ↑ Édouard Lucas. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вып. 14. — С. 336.
  3. ↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вып. 15. — С. 46—48.
  4. ↑ Édouard Lucas. Question 1180. // Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вып. 15. — С. 429—432.
  5. ↑ 5,0 5,1 G. N. Watson. The Problem of the Square Pyramid. // Messenger Math. — 1918. — Вып. 48. — С. 1—22.
  6. ↑ 6,0 6,1 Eric W. Weisstein. Cannonball Problem (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 6 июля 2017. Архивировано 18 июля 2017 года.
  7. ↑ W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas // Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вып. 34. — С. 65—72.
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — 454 p. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-1928-1.
  9. ↑ D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation [math]\displaystyle{ 6y^2 = x(x+1)(2x+1) }[/math]. // Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вып. 4. — С. 107—116.
  10. ↑ W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle. // Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вып. 97. — С. 120—124.
  11. ↑ C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — Т. 16. — С. 237—240.
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 Henri Cohen. Number Theory. — 2007: Springer. — P. 424—427. — 653 p. — ISBN 978-0-387-49922-2.
  13. ↑ 13,0 13,1 Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore: World Scientific, 2012. — P. 98. — 456 p. — ISBN 981-4355-48-8.
  14. ↑ N. J. A. Sloane. A001032 Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers ≥ 1 is a square. (англ.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Дата обращения: 10 июля 2017. Архивировано 30 июля 2017 года.
  15. ↑ 15,0 15,1 Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. When is a polygonal pyramid number again polygonal? : [англ.] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — Т. 32, № 1. — С. 149—165.
  16. ↑ J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice // Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163. — doi:10.1016/0021-8693(83)90025-X.
  17. ↑ J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, 1999. — ISBN 978-1-4757-6568-7, 978-0-387-98585-5.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Задача_о_пушечных_ядрах&oldid=5807855