Перейти к содержанию

e (число)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Число е»)

У этого термина существуют и другие значения, см. E (значения).
Не следует путать с числами Эйлера I рода.
Не следует путать с постоянной Эйлера.
Иррациональные числа
ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления Оценка числа [math]\displaystyle{ e }[/math]
Двоичная 10,101101111110000101010001011001…
Десятичная 2,7182818284590452353602874713527…
Шестнадцатеричная 2,B7E151628AED2A6A…
Шестидесятеричная 2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рациональные приближения 8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544

(перечислено в порядке увеличения точности)

Непрерывная дробь [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …]

(Эта непрерывная дробь не периодическая.

(Записана в линейной нотации)


Площадь области под графиком [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{x} }[/math] на отрезке [math]\displaystyle{ 1 \leq x \leq e }[/math] равна 1
[math]\displaystyle{ e }[/math] — это такое число, для которого производная (тангенс угла наклона касательной) показательной функции f (x) = ex (синяя кривая) в точке x = 0 равна 1 (касательная — красная линия). Для сравнения показаны функция f (x) = 2x (пунктирная кривая) и f (x) = 4x (штриховая кривая); производные которых не равны 1 при x = 0.

[math]\displaystyle{ e }[/math] — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число [math]\displaystyle{ e }[/math] называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Максимум функции [math]\displaystyle{ x^{\frac{1}{x}} }[/math] достигается при [math]\displaystyle{ x=e }[/math].

Число [math]\displaystyle{ e }[/math] играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Поскольку функция экспоненты [math]\displaystyle{ e^x }[/math] интегрируется и дифференцируется «сама в себя», логарифмы именно по основанию [math]\displaystyle{ e }[/math] принимаются как натуральные.

Способы определения

Число [math]\displaystyle{ e }[/math] может быть определено несколькими способами.

Предел бесконечной последовательности [math]\displaystyle{ T_n=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x. }[/math] Это доказывается с помощью биномиальной теоремы.
    • [math]\displaystyle{ e = \lim_{x\to 0}(1+x)^\frac{1}{x} }[/math] - (с одной стороны, показатель степени стремится к бесконечности; с другой стороны, [math]\displaystyle{ 1+x }[/math] стремится к мультипликативному тождеству - нейтральному единичному элементу [math]\displaystyle{ 1 }[/math]);
    • [math]\displaystyle{ e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} }[/math] (это следует из формулы Муавра — Стирлинга).
  • Как сумма ряда:
    • [math]\displaystyle{ e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} }[/math] или [math]\displaystyle{ {\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}} }[/math].
Число Эйлера является пределом последовательности [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} S_n }[/math], где
[math]\displaystyle{ S_n= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots + \frac{1}{n!} }[/math]
[math]\displaystyle{ e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots }[/math].
  • Как единственное число [math]\displaystyle{ a }[/math], для которого выполняется
    • [math]\displaystyle{ \int\limits_{1}^{a} \frac{dx}{x} = 1. }[/math]
  • Как единственное положительное число [math]\displaystyle{ a }[/math], для которого верно
    • [math]\displaystyle{ \frac d {dx} a^x = a^x. }[/math]

Свойства

  • Производная экспоненты равна самой экспоненте:[math]\displaystyle{ \frac{de^x }{dx} = e^x. }[/math]
    Это свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, общим решением дифференциального уравнения [math]\displaystyle{ \frac{df(x)}{dx} = f(x) }[/math] являются функции [math]\displaystyle{ f(x) = c e^x }[/math], где [math]\displaystyle{ c }[/math] — произвольная константа.
  • Число [math]\displaystyle{ e }[/math] иррационально. Доказательство иррациональности является элементарным.
Доказательство иррациональности
Предположим, что [math]\displaystyle{ e }[/math] рационально. Тогда [math]\displaystyle{ e=p/q }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] — целое, а [math]\displaystyle{ q }[/math] — натуральное.

Следовательно

[math]\displaystyle{ p=eq }[/math]

Умножая обе части уравнения на [math]\displaystyle{ (q-1)! }[/math], получаем

[math]\displaystyle{ p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} }[/math]

Переносим [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^q{q!\over n!} }[/math] в левую часть:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!} }[/math]

Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,

[math]\displaystyle{ \sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} \lt \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m} }[/math]

Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} \lt {1\over q} }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ q\ge 1 }[/math],

[math]\displaystyle{ \sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} \lt 1 }[/math]

Получаем противоречие.

Иррациональность числа [math]\displaystyle{ e }[/math] означает, что не существует линейного уравнения [math]\displaystyle{ ax+b=0 }[/math], с рациональными коэффициентами [math]\displaystyle{ a, b }[/math] и [math]\displaystyle{ a\ne 0 }[/math], для которого число [math]\displaystyle{ e }[/math] было бы решением. Шарль Эрмит доказал, что не существует полиномиального уравнения [math]\displaystyle{ a_0 x^{n} + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n = 0 }[/math] любой степени [math]\displaystyle{ n }[/math] и с рациональными коэффициентами [math]\displaystyle{ a_0, a_1 \dots, a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ a_0\ne 0 }[/math], для которого [math]\displaystyle{ x=e }[/math] являлось бы решением.
  • Число [math]\displaystyle{ e }[/math] трансцендентно. Впервые это было доказано в 1873 году Шарлем Эрмитом[2]. Трансцендентность числа [math]\displaystyle{ e }[/math] следует из теоремы Линдемана.
  • Предполагается, что [math]\displaystyle{ e }[/math] — нормальное число, то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
  • Число [math]\displaystyle{ e }[/math] является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
  • [math]\displaystyle{ e^{ix} = \cos(x) + i\cdot\sin(x) }[/math], см. формула Эйлера, в частности
    • [math]\displaystyle{ e^{i\pi} + 1 = 0. }[/math]
    • [math]\displaystyle{ e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1) }[/math]
  • Формула, связывающая числа [math]\displaystyle{ e }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi }[/math], т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса
    [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi} }[/math]
  • Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
    [math]\displaystyle{ e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n. }[/math]
  • Число [math]\displaystyle{ e }[/math] разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в[3]):
    [math]\displaystyle{ e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] }[/math], то есть
    [math]\displaystyle{ e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}} }[/math]
    или в эквивалентной записи:
    [math]\displaystyle{ e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}} }[/math]
  • Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать следующее разложение:
    [math]\displaystyle{ \frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}. }[/math]
  • Представление Каталана:
    [math]\displaystyle{ e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots }[/math]
  • Представление через произведение:
    [math]\displaystyle{ e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}} }[/math]
  • Представление через числа Белла:
    [math]\displaystyle{ e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!} }[/math]
  • Мера иррациональности числа [math]\displaystyle{ e }[/math] равна [math]\displaystyle{ 2 }[/math] (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел)[4].

История

Данное число раньше иногда называли неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа [math]\displaystyle{ x }[/math] был равен [math]\displaystyle{ 10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) }[/math].

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык (с латыни) вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Он обнаружил, что если исходная сумма [math]\displaystyle{ \$1 }[/math] и начисляется [math]\displaystyle{ 100\% }[/math] годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет [math]\displaystyle{ \$2 }[/math]. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то [math]\displaystyle{ \$1 }[/math] умножается на [math]\displaystyle{ 1{,}5 }[/math] дважды, получая [math]\displaystyle{ \$1{,}00 \cdot 1{,}5^2 = \$2{,}25 }[/math]. Начисления процентов раз в квартал приводит к [math]\displaystyle{ \$1{,}00 \cdot 1{,}25^4 = \$2{,}44140625 }[/math], и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math], и этот предел равен числу [math]\displaystyle{ e ~ (\approx 2{,}71828) }[/math].

[math]\displaystyle{ \$1{,}00 \cdot \left( 1+ \frac{1}{12} \right)^{12} = \$2{,}613035... }[/math]

[math]\displaystyle{ \$1{,}00 \cdot \left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} = \$2{,}714567... }[/math]

Таким образом, константа [math]\displaystyle{ e }[/math] означает максимально возможную годовую прибыль при [math]\displaystyle{ 100\% }[/math] годовых и максимальной частоте капитализации процентов[5].

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой [math]\displaystyle{ b }[/math], встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву [math]\displaystyle{ e }[/math] начал использовать Эйлер в 1727 году, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года[6][7], а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год. Соответственно, [math]\displaystyle{ e }[/math] обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву [math]\displaystyle{ c }[/math], буква [math]\displaystyle{ e }[/math] применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

В языках программирования символу [math]\displaystyle{ e }[/math] в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений[8].

Вычисление и приближения

При оределении [math]\displaystyle{ e }[/math] как предела последовательности [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} S_n }[/math], где

[math]\displaystyle{ S_n= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots + \frac{1}{n!} }[/math]
[math]\displaystyle{ e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots }[/math],

доказательством существования предела [math]\displaystyle{ e }[/math] является доказательство того, что монотонная возрастающая последовательность [math]\displaystyle{ S_n }[/math] ограничена сверху. В этом доказательстве во второй строке применяется понятие геометрического ряда:

[math]\displaystyle{ \begin{align}S_n &=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3\cdot 2}+\frac{1}{4\cdot 3\cdot 2}+\cdots+\frac{1}{n\cdot(n-1)\cdots 2}\\&\lt 1+\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\\&=3-\frac{1}{2^{n-1}}\\&\lt 3\end{align} }[/math]

Определение числа [math]\displaystyle{ e }[/math] как сумму ряда (См. Способы определения) [math]\displaystyle{ S_n= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots + \frac{1}{n!} }[/math] дает возможность вычислить его с большой точностью. Ошибка, допускаемая в приближении числа [math]\displaystyle{ e }[/math] при вычислении частичной суммы ряда [math]\displaystyle{ S_m }[/math] может быть оценена посредством сравнения с геометрическим рядом (он вводится во второй строке выражения ниже). Для любого [math]\displaystyle{ n\geq m }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align*} S_n &= S_m + \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \cdots + \frac{1}{n!}\\ &= S_m + \frac{1}{(n+1)!}\left(1 + \frac{1}{(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} +\cdots \right) \\ &\leq S_m + \frac{1}{(n+1)!}\left(1 + \frac{1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)^2} +\cdots \right) \\ &= S_m + \frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{n+1}{n} \\ &= S_m + \frac{1}{n!n}, \end{align*} }[/math]

Следовательно, для [math]\displaystyle{ n\geq m }[/math]:

[math]\displaystyle{ S_m \lt S_n \leq S_m + \frac{1}{n!n} }[/math],

а так как [math]\displaystyle{ S_n }[/math] стремится к [math]\displaystyle{ e }[/math]:

[math]\displaystyle{ S_m \lt e \leq S_m + \frac{1}{n!n} }[/math].

Этим неравенством мы можем оценить степень приблежения частичного ряда [math]\displaystyle{ S_m }[/math] к значению [math]\displaystyle{ e }[/math]. Значение [math]\displaystyle{ e }[/math] отличается от значения [math]\displaystyle{ S_m }[/math] не более чем на величину [math]\displaystyle{ \frac{1}{n!n} }[/math]. Поэтому при увеличении [math]\displaystyle{ m }[/math], то есть количества членов ряда [math]\displaystyle{ S_m }[/math], эта сумма ряда приближается к значению [math]\displaystyle{ e }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ \frac{1}{n!n} }[/math] обратно пропорционально факториалу [math]\displaystyle{ m }[/math], то есть [math]\displaystyle{ m! }[/math], который увеличивается очень быстро с повышением [math]\displaystyle{ m }[/math], то [math]\displaystyle{ S_m }[/math] становится хорошо приближенным к [math]\displaystyle{ e }[/math] даже для относительно малых [math]\displaystyle{ m }[/math]. Например [math]\displaystyle{ S_{10} }[/math] отличается от [math]\displaystyle{ e }[/math] менее чем на [math]\displaystyle{ 10^{-7} }[/math].

Приближенные значения

  • [math]\displaystyle{ e \approx (1+\frac{1}{10^6})^{10^6} }[/math], с точностью 0,000001;

В соответствии с теорией непрерывных дробей наилучшими рациональными приближениями числа [math]\displaystyle{ e }[/math] будут подходящие дроби разложения числа [math]\displaystyle{ e }[/math] в непрерывную дробь.

Число 19/7 превосходит число [math]\displaystyle{ e }[/math] менее чем на 0,004;
Число 87/32 превосходит число [math]\displaystyle{ e }[/math] менее чем на 0,0005;
Число 193/71 превосходит число [math]\displaystyle{ e }[/math] менее чем на 0,00003;
Число 1264/465 превосходит число [math]\displaystyle{ e }[/math] менее чем на 0,000003;
Число 2721/1001 превосходит число [math]\displaystyle{ e }[/math] менее чем на 0,0000002;

Открытые проблемы

См. также

Примечания

  1. ↑ 2 миллиона цифр после запятой. Дата обращения: 17 апреля 2009. Архивировано 19 января 2011 года.
  2. ↑ Математическая энциклопедия. — Москва: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 426.
  3. ↑ William Adkins. A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e. arXiv. arXiv (25 февраля 2006). Дата обращения: 1 марта 2017. Архивировано 2 марта 2017 года.
  4. ↑ Weisstein, Eric W. Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  5. ↑ O'Connor, J J; Robertson, E F The number e. MacTutor History of Mathematics. Дата обращения: 23 октября 2014. Архивировано 11 февраля 2012 года.
  6. ↑ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle, vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. page 58. Архивная копия от 31 января 2017 на Wayback Machine
  7. ↑ Remmert, Reinhold[англ.]. Theory of Complex Functions (неопр.). — Springer-Verlag, 1991. — С. 136. — ISBN 0-387-97195-5.
  8. ↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — (Библиотека программиста). — ISBN 978-5-388-00003-3.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Иррациональное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  10. ↑ Weisstein, Eric W. Pi (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  11. ↑ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. e (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. ↑ Some unsolved problems in number theory. Дата обращения: 8 декабря 2011. Архивировано 19 июля 2010 года.
  13. ↑ Weisstein, Eric W. Трансцендентное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  14. ↑ An introduction to irrationality and transcendence methods. Дата обращения: 8 декабря 2011. Архивировано 17 мая 2013 года.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=E_(число)&oldid=28504284