Почти всюду

Запрос «Почти все» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Об утверждении, зависящем от точки пространства с мерой, говорят, что оно выполнено почти всюду, если множество точек, для которых оно не выполнено, имеет меру ноль.

Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду. Например для функций [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ h }[/math] выражение

[math]\displaystyle{ f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\! \text{п.в.}}h }[/math]

означает, что равенство

[math]\displaystyle{ f(x)=h(x) }[/math]

выполняется при почти всех значениях переменной [math]\displaystyle{ x }[/math].

Почти все

Выражение "почти все" означает "все за исключением пренебрежимого множества". Пренебрежимое множество это множество, которое может не учитываться в определенном рассмотрении. В общей алгебре "почти все" означает все элементы множества за исключением конечного множества или конечного числа элементов.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{F},\mu) }[/math] — пространство с мерой. Обозначим символом [math]\displaystyle{ T }[/math] множество точек из [math]\displaystyle{ X }[/math], для которых верно некоторое утверждение [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math]. Говорят, что утверждение [math]\displaystyle{ \mathcal{A} }[/math] выполнено почти всюду (п.в.), если

[math]\displaystyle{ (X\setminus T) \subset A , \mu(A) = 0 }[/math]

Замечания

• Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым.
• Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).

Примеры

• Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо [math]\displaystyle{ m(\mathbb{Q}) = 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] — мера Лебега на [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. также

• Сходимость почти всюду