Гипероктаэдр

Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп.

Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число.

Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов.

Частные случаи

Число измерений n	Название фигуры	Символ Шлефли	Изображение
1	отрезок	{}
2	квадрат	{4}
3	октаэдр	{3;4}
4	шестнадцатиячейник	{3;3;4}
5	5-ортоплекс	{3;3;3;4}

Описание

[math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный гипероктаэдр имеет [math]\displaystyle{ 2n }[/math] вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при [math]\displaystyle{ n\gt 1) }[/math] вершины, симметричной ей относительно центра политопа.

Все его [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерные гиперграни [math]\displaystyle{ (k \lt n) }[/math] — одинаковые правильные симплексы; их число равно [math]\displaystyle{ 2^{k+1}C_n^{k+1}. }[/math]

Угол между двумя смежными [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерными гипергранями (при [math]\displaystyle{ n\gt 1) }[/math] равен [math]\displaystyle{ \arccos\left(\frac{2-n}{n}\right) }[/math].

[math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный гипероктаэдр [math]\displaystyle{ (n\gt 1) }[/math] можно представить как две одинаковых правильных [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерного гипероктаэдра.

В координатах

[math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты [math]\displaystyle{ (\pm1;0;\ldots;0), }[/math] [math]\displaystyle{ (0;\pm1;\ldots;0),\ldots, }[/math] [math]\displaystyle{ (0;0;\ldots;\pm1). }[/math] При этом каждая из [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] его [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерных гиперграней будет располагаться в одном из [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] ортантов [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного пространства.

Начало координат [math]\displaystyle{ (0;0;...;0) }[/math] будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер.

Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек [math]\displaystyle{ (x_1;x_2;\ldots;x_n), }[/math] чьи координаты удовлетворяют уравнению

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}|x_i|=1, }[/math]

а внутренность — геометрическим место точек, для которых

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}|x_i|\lt 1. }[/math]

Метрические характеристики

Если [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный гипероктаэдр [math]\displaystyle{ (n\gt 1) }[/math] имеет ребро длины [math]\displaystyle{ a, }[/math] то его [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный гиперобъём и [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

[math]\displaystyle{ V_n = \frac{(a\sqrt2)^n}{n!}, }[/math]

[math]\displaystyle{ S_{n-1} = \frac{a^{n-1}\sqrt{n2^{n+1}}}{(n-1)!}. }[/math]

Радиус описанной [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен

[math]\displaystyle{ R = \rho_0 = \frac{a}{\sqrt2}, }[/math]

радиус [math]\displaystyle{ k }[/math]-й полувписанной гиперсферы (касающейся всех [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерных гиперграней в их центрах; [math]\displaystyle{ k \lt n }[/math]) —

[math]\displaystyle{ \rho_k = \frac{a}{\sqrt{2(k+1)}}, }[/math]

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-мерных гиперграней в их центрах) —

[math]\displaystyle{ r = \rho_{n-1} = \frac{a}{\sqrt{2n}}. }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Гипероктаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.